从新定义看学生运算模型的建构
编辑:小编 日期:2024-12-15 21:12 / 人气:
明确了方向,再来看中考,2024年全国各地中考题里,也有不少压轴题以新定义形式呈现;所谓新定义,考察学生理解概念并运用概念的能力,这在数学学习中非常重要,毕竟数学就是玩概念,如何把概念教学做好,也是初中数学教师应该正视的问题,从七年级开始,渗透新定义的理念,在这个阶段,学生会重新从基本运算开始,数域扩充后的运算与小学区别很大,许多在小学行之有效的学习方法例如刷题、强记等,在初中行不通,整个初中阶段,在运算上花费最多时间的,也正是在七年级有理数运算章节中,我们通过这一章的学习,究竟要学到什么?仅仅是会计算就行了吗?
每次运算都是对前面的结果的迭代,观察前面三次运算后A的系数,由a+b变成a(a+b)+b=a²+ab+b,再变成a(a²+ab+b)+b=a³+a²b+ab+b,特点是有几个A参与运算,结果就有几项,再合并同类项,最高次项只有单独字母a,次数比项数少1,最低次项是单独字母b,并且除第一项外,各项均有因数b;
p和q是正整数,我们可以开始尝试了,先观察右边有因数30,因此左边的运算结果中,个位数为0,则要求7乘某个数后,个位数为4,根据乘法口诀,7×2=14,即2的p+1次幂,个位数为2,而在2的乘方运算中,1次和5次幂结果个位数为2,所以p+1首先要从1和5开始试,显然p+1=1时,p=0,不符合;因此p+1=5时,p=4,左边=240,右边可求出q=3;
(1)读懂新定义是关键,对于这两个新运算,简称圈加和圈乘,圈加的意思是给两个整式分别乘以相应的系数a、b,再相加,熟悉高中数学内容的会立刻想起矩阵乘法,如下图:
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这一小题本质上是模仿,我们多数所谓新运算题都是这个套路,给列式套上了个新定义的壳儿;
个人认为,这个章节结束之后,学生应该建立自已的运算模型,不仅能够完成数字与数字之间的运算,也能够在看到式与式之间的运算后不感到惊诧莫名、手足无措,等进一步学习了代数式和整式的加减,这个运算模型就成型了,并借助这个模型,在进一步扩充至实数范围后,无疑衔接,而在高中阶段再一次扩充数域,这个经验能够用得上。
解到此处应该算完结,但始终会存在一个疑问,p和q再取更大一点的正整数,会不会仍然成立呢?
这里的难点是数运算中A的个数,n个A圈加,先拿前两个进行一次运算,还剩下n-2个A,再从剩下的拿出一个继续和前面的结果进行一次运算,还剩下n-3个A,依次类推,到最后一次运算,应该剩下0个A,对照前面a的次数即可得到结论;
站在小初高一体化贯通培养的高度看整个12年的教育经历,中考和高考是两个重要节点,尤其是后者,俗语说高考是整个基础教育的风向标,一点都没错,我们不妨先看一下几份2024年高考数学试卷的压轴题,如下图:
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学生在七年级阶段经历的就是一种运算模型的建构,我们在学习有理数运算法则时,学习的是如何将那些用运算符号连接的数字求出结果,而在学习整式的加减时,只当过将数字换成了整式,法则仍然不变,所以对于法则的理解,从有理数到整式,是更深了一层,其实学生在学习过程中,也很自然地发现,合并同类项本质上就是进行加法,而且属于代数和,去括号本质上就是乘法分配律,这些都在运算法则框架下,包括本题中的圈加和圈乘,依然适用于七年级学习的这些法则。
新定义题型对学生的数学阅读能力、逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力都有相对较高的要求,它让学生经历了一次完整的“用数学”过程,这对于未来学习新的数学内容,就是可供借鉴的宝贵经验,我们通常所说的授人以渔,这个“渔”的含义就是数学经验;
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由常识可知经验的积累是一个长期过程,因此数学学习也一定是个慢过程,无论是作为老师或家长,心里需要存在一种期待。虽然我们在现实中,讲的最多的就是高效、快捷等一系列与“慢”字相反意义的词句,但这些并不矛盾,所谓的慢,是指建立模型的过程,一旦建立成功,那自然就快了,该慢则慢,该快则快,是要分场景的,不要一概而论。
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(3)增加了A和B这两个代数式的复杂度,运算模型不变,因此继续利用前面的经验推导:
自已试了一下,p+1=9时,左边=3600,也确实没找到相应的正整数q使等式成立,没继续寻找下去,但心里又没底,所以建议这道题最后一问改为找出最小的正整数p和q的值或找到一组存在的p和q的值.
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然后是对最后得到的式子进行数学解读,等式右边是固定数字1,而由于n是任意正整数,因此需要让其底数为0或1才能保证结果唯一,显然a=0更符合,在得到a的值之后,b的值也随之确定,因此a=0,b=1;
此时需要理解“不含xy项”的意义,即将上式利用分配律去年括号之后,含xy项的系数合并为零,所以我们没有必要把全部整式乘法展开,只需要盯住7xy和前面系数相乘,以及-30xy与前面系数相乘的结果;
所以对于我们的课堂,请尽可能“慢”下来,让数学有更多时间渗透到每个孩子的脑子里,对于每位家长,也请把心也“慢”下来,花开需要时间。
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